Формулы площади и периметра: разбор с примерами

Пример из жизни: нужно посчитать, сколько материала пойдёт на садовую лавочку, а размеры сняты с чертежа и записаны в миллиметрах — 3500 на 3400. Первая реакция: умножить и получить ответ. Именно так и делают, но почти всегда забывают про две вещи: единицы в ответе и запас материала на подрезку. Разберём, что и в каком порядке считать, чтобы и результат был верным, и покупка не обошлась в лишний квадратный метр.

Вторая по частоте запроса тема: «диаметр и толщина детали». Это уже не плоская фигура, а тело вращения, и там нужен объём. Ниже есть и то, и другое, с числами, которые можно проверить на калькуляторе.

Периметр и площадь: разные вопросы

Путаница между этими двумя величинами возникает почти у каждого, кто впервые считает что-то по формуле. Разница в том, что спрашивают.

• периметр это длина границы фигуры, то есть сколько метров материала уйдёт на окантовку, забор, рамку или кромку;
• площадь это количество квадратных единиц внутри фигуры, то есть сколько краски, обоев, плитки или листа фанеры понадобится;
• у прямоугольника 3 × 4 метра периметр равен 14 метрам, а площадь 12 квадратным метрам, и перепутать их невозможно, если помнить единицы измерения;
• периметр измеряется в метрах, сантиметрах, миллиметрах, площадь в квадратных метрах, квадратных сантиметрах, квадратных миллиметрах;
• ответ «14» после умножения 3 на 4 означает, что вы посчитали площадь, а не периметр, и наоборот.

Отсюда простое правило, которое стоит проговорить себе перед любым расчётом: если дальше по тексту будет слово «погонаж», «длина» или «обрезка», вам нужен периметр. Если будет «материал», «покрытие», «площадь» или «сколько стоит квадратный метр», нужна площадь. Иногда нужны обе цифры сразу, например при заказе ткани на чехол: площадь это расход, периметр это длина резинки по краю.

Формулы для основных фигур

Ниже собраны формулы, которых хватает в подавляющем большинстве бытовых и строительных задач. Обозначения стандартные: a и b это длины сторон, h это высота, r это радиус, d это диаметр, π это отношение длины окружности к диаметру.

• прямоугольник: площадь S = a · b, периметр P = 2 · (a + b);
• квадрат: площадь S = a², периметр P = 4 · a;
• круг: площадь S = π · r², периметр (длина окружности) C = 2 · π · r = π · d;
• треугольник: площадь S = ½ · a · h, периметр P = a + b + c;
• трапеция: площадь S = ((a + b) / 2) · h, периметр P = a + b + c + d, то есть сумма всех сторон;
• параллелограмм: площадь S = a · h, периметр P = 2 · (a + b);
• ромб: площадь S = ½ · d₁ · d₂, периметр P = 4 · a, где d₁ и d₂ это диагонали.

Обратите внимание, что почти в каждой формуле площади присутствует высота, а не вторая сторона. Это не опечатка: у треугольника, трапеции и параллелограмма две стороны могут быть разной длины, и площадь определяется основанием и перпендикулярной высоте, проведённой к нему.

Площадь прямоугольника: откуда берётся a × b

Формулу S = a · b обычно дают без вывода, и она кажется очевидной только потому, что её подставляют в задачи про листочек бумаги в клетку. Разложим её по шагам, чтобы стало видно, что это не магия, а подсчёт клеток.

Пусть прямоугольник со сторонами a и b разбит на квадратики со стороной 1. По горизонтали получится a столбцов, по вертикали b рядов, а всего квадратиков a · b. Это и есть площадь: сколько единичных квадратов помещается внутри фигуры. Увеличивая размер квадратика, мы меняем только единицу измерения, а не суть: тот же прямоугольник 3 × 4 метра состоит из двенадцати квадратов со стороной метр, из ста двадцати квадратов со стороной 10 сантиметров и из двенадцати тысяч квадратов со стороной сантиметр. Величина площади при этом всегда одна и та же: 12 м².

Размеры: 3500 мм = 3,5 м,  3400 мм = 3,4 м

Площадь:
  S = a · b = 3,5 · 3,4 = 11,9 м²
  в квадратных сантиметрах: 3500 · 3400 = 11 900 000 мм² = 11,9 м²
  (1 м² = 10 000 см² = 1 000 000 мм²)

Периметр:
  P = 2 · (3,5 + 3,4) = 2 · 6,9 = 13,8 м

С запасом 5 % на подрезку:
  11,9 · 1,05 = 12,495 м²   → берём 12,5 м²
  13,8 · 1,05 = 14,49 м     → берём 14,5 м

Обратите внимание, насколько легко ошибиться в единицах. Если в формулу подставить 3500 и 3400 как метры, получится 11 900 000 м², и такая ошибка стоит дорого. Обратная ситуация тоже встречается: размеры в сантиметрах, а материал покупают в метрах квадратных, и тогда площадь делят на 10 000. Тот же расчёт, но без ошибок, делает калькулятор площади: он сам выводит формулу и ход решения, а для круга принимает на вход и радиус, и диаметр, и длину окружности.

Круг: πr² и что такое π

Площадь круга равна произведению π на квадрат радиуса. Звучит коротко, но в этой формуле спрятано две вещи, которые стоит понимать: что такое π и почему в ней именно квадрат радиуса, а не сам радиус.

π это отношение длины окружности к диаметру, и оно одинаково для любого круга, независимо от размера. Отношение длины окружности к диаметру колеблется между 3,14159 и 3,14160, и в расчётах берут 3,14159... Смысл формулы в том, что площадь круга пропорциональна квадрату радиуса: если радиус увеличить вдвое, площадь вырастет вчетверо, а не вдвое. Квадратный закон здесь тот же, что и в прямоугольнике, только вместо двух сторон там две длины подряд.

Круг с радиусом 2 м:
  S = π · r² = 3,14159 · 4 ≈ 12,566 м²
  C = 2 · π · r = 2 · 3,14159 · 2 ≈ 12,566 м

Круг с диаметром 2 м (радиус 1 м):
  S = π · 1² ≈ 3,142 м²
  C = π · d = 3,14159 · 2 ≈ 6,283 м

Проверка: площадь круга диаметром d равна π · d² / 4
  3,14159 · 4 / 4 = 3,14159 м²   сходится

Ошибка «забыл поделить диаметр на 2» даёт завышение в 4 раза.

Площадь круга нужна редко, а вот длина окружности нужна постоянно: бордюр, обруч, обрезка круга для торта, размер катушки. И там ошибка в радиусе против диаметра стоит половины материала.

Треугольник: высота и формула Герона

У треугольника есть две рабочие формулы площади, и они отвечают на разные вопросы. Первая, S = ½ · a · h, требует высоты. Вторая, формула Герона, работает по трём сторонам и обходится без высоты вообще, что удобно, когда высоту измерить нечем.

Формула Герона выглядит так: S = √(p · (p − a) · (p − b) · (p − c)), где p это полупериметр, то есть половина суммы трёх сторон. Именно она заложена в калькулятор площади, и именно её стоит проверить на классическом прямоугольном треугольнике 3, 4, 5.

Полупериметр:
  p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6

Формула Герона:
  S = √(6 · (6−3) · (6−4) · (6−5))
    = √(6 · 3 · 2 · 1) = √36 = 6

Через высоту (катет 3 — основание, высота к нему 4):
  S = ½ · 3 · 4 = 6   тот же ответ

Ещё пример: стороны 13, 14 и 15
  p = 21
  S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84

Перед подстановкой стоит проверить, что треугольник вообще существует: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Для 3, 4 и 5 это выполняется, а вот 3, 4 и 8 не образуют треугольник, и формула Герона даст мнимое число под корнем. Калькулятор площади такую проверку делает и выдаёт ошибку вместо результата.

Площадь по диагонали и обратные задачи

Иногда известны не стороны, а диагонали. Для четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями работает формула S = ½ · d₁ · d₂, и она особенно удобна для ромба, у которого диагонали всегда перпендикулярны. Если диагонали не перпендикулярны, формула даст заниженный результат, и тогда площадь считают как сумму двух треугольников.

Ещё чаще встречается обратная задача: известна диагональ и одна сторона, а найти надо вторую сторону и площадь. Здесь работает теорема Пифагора, а дальше всё как обычно.

Вторая сторона:
  b = √(d² − a²) = √(4,88² − 3,4²)
    = √(23,8144 − 11,56) = √12,2544 ≈ 3,5006 м

Площадь:
  S = a · b = 3,4 · 3,5006 ≈ 11,90 м²

Проверка: диагональ исходной лавочки
  d = √(3,5² + 3,4²) = √(12,25 + 11,56) = √23,81 ≈ 4,880 м

Площадь ромба с диагоналями 6 и 4 м:
  S = ½ · 6 · 4 = 12 м²

Единицы измерения: миллиметры, сантиметры, метры

Половина ошибок в расчётах площади и периметра связана не с формулами, а с единицами. Стоит запомнить несколько соотношений, и пересчёт перестанет быть отдельной задачей.

• 1 см = 10 мм, 1 м = 100 см = 1000 мм, 1 дюйм = 25,4 мм;
• 1 м² = 10 000 см² = 1 000 000 мм², то есть при переводе из миллиметров в метры площадь делится на миллион;
• 1 гектар = 10 000 м², стандартная единица в объявлениях о продаже земли;
• при переводе длины в метры из сантиметров делят на 100, из миллиметров на 1000;
• площадь и периметр переводятся в разные степени: длина это метр, площадь это квадратный метр, и делить на 100 нужно не то и не другое.

С запросом про диаметр и толщину детали всё то же самое, только добавляется объём. Самая частая заготовка в механике это диск: круглый цилиндр, у которого известны диаметр и толщина.

Радиус: r = 40 / 2 = 20 мм

Объём цилиндра:
  V = π · r² · h = 3,14159 · 400 · 10 ≈ 12 566 мм³
  = 12,566 см³   (1 см³ = 1000 мм³)

Масса из стали (плотность 7,85 г/см³):
  m = 12,566 · 7,85 ≈ 98,6 г

Если деталь стальная и нужна масса в кг: 0,0986 кг.

Считать объём удобно в сантиметрах, если есть плотность в граммах на кубический сантиметр: диаметр 40 мм это 4 см, толщина 10 мм это 1 см, и получается π · 2² · 1 = 12,566 см³ без промежуточных переводов. Формулы для шара, цилиндра, конуса, призмы, пирамиды и прямоугольного параллелепипеда собраны в калькуляторе объёма, а пересчёт длин и весов между системами единиц делает конвертер единиц измерения — подробнее о коэффициентах в отдельном материале про перевод единиц.

Типичные ошибки

• перепутали периметр с площадью и заказали погонаж вместо материала или наоборот;
• подставили в формулу длины в миллиметрах, а ответ нужен в квадратных метрах, и получили ошибку в миллион раз;
• взяли диаметр вместо радиуса в формуле πr², и площадь выросла вчетверо;
• забыли про запас на подрезку и раскрой, и материала хватило ровно на точное число деталей;
• для трапеции взяли боковую сторону вместо высоты: высота это перпендикуляр к основаниям, а боковая сторона обычно длиннее;
• округлили π до 3,14 на раннем шаге и потеряли точность, хотя в школьных задачах так делать нельзя;
• не перевели размеры в одну единицу до начала расчёта, а не после;
• не учли, что треугольник с такими сторонами может не существовать, и получили мнимую площадь.

Последняя ошибка стоит отдельного внимания: почти все из перечисленных ловятся простой проверкой. Возьмите пару круглых чисел и пересчитайте результат другим способом. Если площадь треугольника посчитана по Герону, а потом по высоте, и результаты совпали, значит всё сделано правильно.

Частые вопросы

Площадь или периметр: что нужно для материала?

Для покупки материала по площади, будь то плитка, обои, краска или лист фанеры, нужна площадь с запасом на подрезку, обычно от 5 до 10 процентов. Периметр нужен, если вы покупаете материал по длине: плинтус, бордюр, профиль, ткань с запасом на подгибку.

Как посчитать площадь, если известны только две стороны и угол между ними?

Для параллелограмма формула S = a · b · sin α, где α это угол между сторонами. Для треугольника то же самое: S = ½ · a · b · sin α. Если угол равен 90 градусам, синус равен единице и формулы превращаются в привычные. Практический совет: если угол известен приблизительно, дешевле измерить высоту, чем считать через синус.

Как посчитать площадь участка неправильной формы?

Разбейте участок на прямоугольники, треугольники и трапеции, посчитайте площадь каждого и сложите. Криволинейные участки приближённо заменяют прямоугольниками или используют формулу круга для дуг. Точность такого метода обычно около 1 процента, чего для бытовых и строительных задач достаточно.

Почему площадь квадрата 5 на 5 не равна 25 сантиметрам?

Равна, но единицу надо дописать. Пять сантиметров в квадрате даёт 25 квадратных сантиметров, а не 25 сантиметров. Площадь в квадратных единицах, поэтому в обозначении всегда присутствует «квадратный». Если в ответе стоят просто «25», значит единица потерялась по дороге, и это верный признак ошибки в размерности.

Как посчитать площадь круга, если известна только длина окружности?

Из формулы C = 2πr выражаем радиус: r = C / (2π). Для окружности 12,566 м радиус получается 2 м, а площадь π · 4 ≈ 12,566 м². В калькуляторе площади для этого есть отдельный режим ввода по длине окружности, и результат сразу выводится вместе с периметром.